Giải bài tập toán nâng cao lớp 5 được biên soạn nhằm giúp học sinh rèn luyện tư duy toán học và khả năng giải quyết các bài toán khó. Với những bài tập chọn lọc, sách sẽ đồng hành cùng các em trên hành trình phát triển kỹ năng tư duy logic và sự tự tin trong học tập.
1. Những bài toán nâng cao lớp 5 có đáp án
Bài 1: Có 13 tấm bìa, mỗi tấm bìa được ghi một chữ số và xếp theo thứ tự sau:
Không thay đổi thứ tự các tấm bìa, hãy đặt giữa chúng dấu các phép tính + , - , x và dấu ngoặc nếu cần, sao cho kết quả là 2002.
Bài giải:
Bài toán có rất nhiều cách đặt dấu phép tính và dấu ngoặc. Xin nêu một số cách:
Cách 1: (123 + 4 x 5) x (6 + 7 - 8 + 9 + 1 - 2 - 3 + 4) = 2002
Cách 2: (1 x 2 + 3 x 4) x (5 + 6) x [(7 + 8 + 9) - (1 + 2 x 3 + 4)] = 2002
Cách 3: (1 + 2 + 3 + 4 x 5) x (6 x 7 + 8 + 9 - 1 + 23 - 4) = 2002
Bài 2: Hai bạn Huy và Nam đi mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo để đến lớp liên hoan. Huy đưa cho cô bán hàng 2 tờ 100000 đồng và được trả lại 72000 đồng. Nam nói: “Cô tính sai rồi”. Bạn hãy cho biết Nam nói đúng hay sai? Giải thích tại sao?
Bài giải:
Vì số 18 và số 12 đều chia hết cho 3, nên tổng số tiền mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo phải là số chia hết cho 3.
Vì Huy đưa cho cô bán hàng 2 tờ 100000 đồng và được trả lại 72000 đồng, nên số tiền mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo là:
100000 x 2 - 72000 = 128000 (đồng).
Vì số 128000 không chia hết cho 3, nên bạn Nam nói “Cô tính sai rồi” là đúng.
Bài 3: 20 Giỏ dưa hấu
Trí và Dũng giúp bố mẹ xếp 65 quả dưa hấu mỗi quả nặng 1kg, 35 quả dưa hấu mỗi quả nặng 2kg và 15 quả dưa hấu mỗi quả nặng 3kg vào trong 20 giỏ.
Mọi người cùng đang làm việc, Trí chạy đến bàn học lấy giấy bút ra ghi... ghi và Trí la lên: “Có xếp thế nào đi chăng nữa, chúng ta luôn tìm được 2 giỏ trong 20 giỏ này có khối lượng bằng nhau”.
Các bạn hãy chứng tỏ là Trí đã nói đúng.
Bài giải:
Tổng khối lượng dưa là:
1 x 65 + 2 x 35 + 3 x 15 = 180 (kg).
Giả sử khối lượng dưa ở mỗi giỏ khác nhau thì tổng khối lượng dưa ở 20 giỏ bé nhất là:
1 + 2 + 3 + ... + 19 + 20 = 210 (kg).
Vì 210 kg > 180 kg nên chắc chắn phải có ít nhất 2 giỏ trong 20 giỏ có khối lượng bằng nhau. Vậy Trí đã nói đúng.
Bài 4:Hoàng mua 6 quyển vở, Hùng mua 3 quyển vở. Hai bạn góp số vở của mình với số vở của bạn Sơn, rồi chia đều cho nhau. Sơn tính rằng mình phải trả các bạn đúng 800 đồng.
Tính giá tiền 1 quyển vở, biết rằng cả ba bạn đều mua cùng một loại vở.
Bài giải:
Vì Hoàng và Hùng góp số vở của mình với số vở của Sơn, rồi chia đều cho nhau, nên tổng số vở của ba bạn là một số chia hết cho 3. Số vở của Hoàng và Hùng đều chia hết cho 3 nên số vở của Sơn cũng là số chia hết cho 3.
Số vở của Sơn phải ít hơn 6 vì nếu số vở của Sơn bằng hoặc nhiều hơn số vở của Hoàng (6 quyển) thì sau khi góp vở lại chia đều Sơn sẽ không phải trả thêm 800 đồng. Số vở của Sơn khác 0 (Sơn phải có vở của mình thì mới góp chung với các bạn được chứ!), nhỏ hơn 6 và chia hết cho 3 nên Sơn có 3 quyển vở.
Số vở của mỗi bạn sau khi chia đều là: (6 + 3 + 3) : 3 = 4 (quyển)
Như vậy Sơn được các bạn đưa thêm: 4 - 3 = 1 (quyển)
Giá tiền một quyển vở là 800 đồng.
Bài 5: Một đội tuyển tham dự kỳ thi học sinh giỏi 3 môn Văn, Toán, Ngoại ngữ do thành phố tổ chức đạt được 15 giải. Hỏi đội tuyển học sinh giỏi đó có bao nhiêu học sinh? Biết rằng:
Học sinh nào cũng có giải.
Bất kỳ môn nào cũng có ít nhất 1 học sinh chỉ đạt 1 giải.
Bất kỳ hai môn nào cũng có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả hai môn.
Có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 3 môn.
Tổng số học sinh đạt 3 giải, 2 giải, 1 giải tăng dần.
Bài giải:
Gọi số học sinh đạt giải cả 3 môn là a (học sinh)
Gọi số học sinh đạt giải cả 2 môn là b (học sinh)
Gọi số học sinh chỉ đạt giải 1 môn là c (học sinh)
Tổng số giải đạt được là:
3 x a + 2 x b + c = 15 (giải).
Vì tổng số học sinh đạt 3 giải, 2 giải, 1 giải tăng dần nên a < b < c.
Vì bất kỳ 2 môn nào cũng có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 2 môn nên:
- Có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 2 môn Văn và Toán.
- Có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 2 môn Toán và Ngoại Ngữ.
- Có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 2 môn Văn và Ngoại Ngữ.
Do vậy b= 3.
Giả sử a = 2 thì b bé nhất là 3, c bé nhất là 4; do đó tổng số giải bé nhất là:
3 x 2 + 2 x 3 + 4 = 16 > 15 (loại). Do đó a < 2, nên a = 1.
Ta có: 3 x 1 + 2 x b + c = 15 suy ra: 2 x b + c = 12.
Nếu b = 3 thì c = 12 - 2 x 3 = 6 (đúng).
Nếu b = 4 thì c = 12 - 2 x 4 = 4 (loại vì trái với điều kiện b < c)
Vậy có 1 bạn đạt 3 giải, 3 bạn đạt 2 giải, 6 bạn đạt 1 giải.
Đội tuyển đó có số học sinh là:
1 + 3 + 6 = 10 (bạn).
Bài 6: Mỗi đỉnh của một tấm bìa hình tam giác được đánh số lần lượt là 1; 2; 3. Người ta chồng các tam giác này lên nhau sao cho không có chữ số nào bị che lấp. Một bạn cộng tất cả các chữ số nhìn thấy thì được kết quả là 2002. Liệu bạn đó có tính nhầm không?
Bài giải: Tổng các số trên ba đỉnh của mỗi hình tam giác là 1 + 2 + 3 = 6. Tổng này là một số chia hết cho 6. Khi chồng các hình tam giác này lên nhau sao cho không có chữ số nào bị che lấp, rồi tính tổng tất cả các chữ số nhìn thấy được phải có kết quả là số chia hết cho 6. Vì số 2002 không chia hết cho 6 nên bạn đó đã tính sai.
Bài 7: Có 7 thùng đựng đầy dầu, 7 thùng chỉ còn nửa thùng dầu và 7 vỏ thùng. Làm sao có thể chia cho 3 người để mọi người đều có lượng dầu như nhau và số thùng như nhau?
Bài giải: Gọi thùng đầy dầu là A, thùng có nửa thùng dầu là B, thùng không có dầu là C.
Cách 1: Không phải đổ dầu từ thùng này sang thùng kia.
Người thứ nhất nhận: 3A, 1B, 3C.
Người thứ hai nhận: 2A, 3B, 2C.
Người thứ ba nhận: 2A, 3B, 2C.
Cách 2: Không phải đổ dầu từ thùng này sang thùng kia.
Người thứ nhất nhận: 3A, 1B, 3C.
Người thứ hai nhận: 3A, 1B, 3C.
Người thứ ba nhận: 1A, 5B, 1C.
Cách 3: Đổ dầu từ thùng này sang thùng kia.
Lấy 4 thùng chứa nửa thùng dầu (4B) đổ đầy sang 2 thùng không (2C) để được 2 thùng đầy dầu (2A). Khi đó có 9A, 3B, 9C và mỗi người sẽ nhận được như nhau là 3A, 1B, 3C.
Bài 8: Cu Tí chọn 4 chữ số liên tiếp nhau và dùng 4 chữ số này để viết ra 3 số gồm 4 chữ số khác nhau. Biết rằng số thứ nhất viết các chữ số theo thứ tự tăng dần, số thứ hai viết các chữ số theo thứ tự giảm dần và số thứ ba viết các chữ số theo thứ tự nào đó. Khi cộng ba số vừa viết thì được tổng là 12300. Bạn hãy cho biết các số mà cu Tí đã viết.
Bài giải: Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp từ nhỏ đến lớn là a, b, c, d.
Số thứ nhất cu Tí viết là abcd, số thứ hai cu Tí viết là dcba.
Ta xét các chữ số hàng nghìn của ba số có tổng là 12300:
a là số lớn hơn 1 vì nếu a = 1 thì d = 4, khi đó số thứ ba có chữ số hàng nghìn lớn nhất là 4 và tổng của ba chữ số này lớn nhất là:
1 + 4 + 4 = 9 < 12; như vậy tổng của ba số nhỏ hơn 12300.
a là số nhỏ hơn 5 vì nếu a = 5 thì d = 8 và a + d = 13 > 12; như vậy tổng của ba số lớn hơn 12300.
a chỉ có thể nhận 3 giá trị là 2, 3, 4.
- Nếu a = 2 thì số thứ nhất là 2345, số thứ hai là 5432. Số thứ ba là: 12300 - (2345 + 5432) = 4523 (đúng, vì số này có các chữ số là 2, 3, 4, 5).
- Nếu a = 3 thì số thứ nhất là 3456, số thứ hai là 6543.
Số thứ ba là:
12300 - (3456 + 6543) = 2301 (loại, vì số này có các chữ số khác với 3, 4, 5, 6).
- Nếu a = 4 thì số thứ nhất là 4567, số thứ hai là 7654. Số thứ ba là:
12300 - (4567 + 7654) = 79 (loại).
Vậy các số mà cu Tí đã viết là: 2345, 5432, 4523.
Bài 9
Vũ Hữu cùng với Lương Thế Vinh
Hai nhà toán học, một năm sinh
Thực hành, tính toán đều thông thạo
Vẻ vang dân tộc nước non mình
Năm sinh của hai ông là một số có bốn chữ số, tổng các chữ số bằng 10. Nếu viết năm sinh theo thứ tự ngược lại thì năm sinh không đổi. Bạn đã biết năm sinh của hai ông chưa?
Bài giải: Gọi năm sinh của hai ông là abba (a ≠ 0, a < 3, b <10).
Ta có: a + b + b + a = 10 hay (a + b) x 2 = 10. Do đó a + b = 5.
Vì a ≠ 0 và a < 3 nên a = 1 hoặc 2.
* Nếu a = 1 thì b = 5 - 1 = 4. Khi đó năm sinh của hai ông là 1441 (đúng).
* Nếu a = 2 thì b = 5 - 2 = 3. Khi đó năm sinh của hai ông là 2332 (loại).
Vậy hai ông Vũ Hữu và Lương Thế Vinh sinh năm 1441.
Bài 10: S = 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 có phải là số tự nhiên không? Vì sao?
Bài giải: Các bạn đã giải theo 3 hướng sau đây :
Hướng 1: Tính S = 1 201/280
Hướng 2: Khi qui đồng mẫu số để tính S thì mẫu số chung là số chẵn. Với mẫu số chung này thì 1/2 ; 1/3 ; 1/4 ; 1/5 ; 1/6; 1/7 sẽ trở thành các phân số mà tử số là số chẵn, chỉ có 1/8 là trở thành phân số mà tử số là số lẻ. Vậy S là một phân số có tử số là số lẻ và mẫu số là số chẵn nên S không phải là số tự nhiên.
Hướng 3 : Chứng minh 5/4 < S < 2
Thật vậy 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 6 x 1/8 = 3/4
nên S > 3/4 + 1/2 = 5/4
Mặt khác : 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 < 4 x 1/4 = 1
nên S < 1 + 1/2 + 1/3 + 1/8 = 1 + 1/2 + 11/24 <2
Vì 5/4 < S < 2 nên S không phải là số tự nhiên.
Bài 12: Không được thay đổi vị trí của các chữ số đã viết trên bảng: 8 7 6 5 4 3 2 1 mà chỉ được viết thêm các dấu cộng (+), bạn có thể cho được kết quả của dãy phép tính là 90 được không?
Bài giải: Có hai cách điền:
8 + 7 + 65 + 4 + 3 + 2 + 1 = 90
8 + 7 + 6 + 5 + 43 + 21 = 90
Để tìm được hai cách điền này ta có thể có nhận xét sau:
Tổng 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 ; 90 - 36 = 54.
Như vậy muốn có tổng 90 thì trong các số hạng phải có một hoặc hai số là số có hai chữ số. Nếu số có hai chữ số đó là 87 hoặc 76 mà 87 > 54, 76 > 54 nên không thể được. Nếu số có hai chữ số là 65; 65 + 36 - 6 - 5 = 90, ta có thể điền:
8 + 7 + 65 + 4 + 3 + 2 + 1 - 90.
Nếu số có hai chữ số là 54 thì cũng không thể có tổng là 90 được vì 54 + 36 - 5 - 4 < 90
Nếu số có hai chữ số là 43 ; 43 < 54 nên cũng không thể được. Nếu trong tổng có 2 số có hai chữ số là 43 và 21 thì ta có 43 + 21 - (4 + 3 + 2 + 1) = 54. Như vậy ta có thể điền:
8 + 7 + 6 + 5 + 43 + 21 = 90.
Bài 11: Cho phân số
M = (1 + 2 +... + 9)/(11 + 12 +... +19).
Hãy bớt một số hạng ở tử số và một số hạng ở mẫu số sao cho giá trị phân số không thay đổi.
Tóm tắt bài giải:
M = (1 + 2 +... + 9)/(11 + 12 +... +19) = 45/135 = 1/3.
Theo tính chất của hai tỉ số bằng nhau thì 45/135 = (45 - k)/(135 - kx3) (k là số tự nhiên nhỏ hơn 45). Do đó ở tử số của M bớt đi 4 ; 5 ; 6 thì tương ứng ở mẫu số phải bớt đi 12 ; 15 ; 18.
Bài 12: Một người mang ra chợ 5 giỏ táo gồm hai loại. Số táo trong mỗi giỏ lần lượt là: 20 ; 25 ; 30 ; 35 và 40. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại táo. Sau khi bán hết một giỏ táo nào đó, người ấy thấy rằng : Số táo loại 2 còn lại đúng bằng nửa số táo loại 1. Hỏi số táo loại 2 còn lại là bao nhiêu?
Bài giải: Số táo người đó mang ra chợ là:
20 + 25 + 30 + 35 + 40 = 150 (quả)
Vì số táo loại 2 còn lại đúng bằng nửa số táo loại 1 nên sau khi bán, số táo còn lại phải chia hết cho 3.
Vì tổng số táo mang ra chợ là 150 quả chia hết cho 3 nên số táo đã bán phải chia hết cho 3. Trong các số 20, 25, 30, 35, 40 chỉ có 30 chia hết cho 3. Do vậy người ấy đã bán giỏ táo đựng 30 quả.
Tổng số táo còn lại là:
150 - 30 = 120 (quả)
Ta có sơ đồ biểu diễn số táo của loại 1 và loại 2 còn lại:
Bài 13: Tìm 4 số tự nhiên có tổng bằng 2003. Biết rằng nếu xóa bỏ chữ số hàng đơn vị của số thứ nhất ta được số thứ hai. Nếu xóa bỏ chữ số hàng đơn vị của số thứ hai ta được số thứ ba. Nếu xóa bỏ chữ số hàng đơn vị của số thứ ba ta được số thứ tư.
Bài giải: Số thứ nhất không thể nhiều hơn 4 chữ số vì tổng 4 số bằng 2003. Nếu số thứ nhất có ít hơn 4 chữ số thì sẽ không tồn tại số thứ tư. Vậy số thứ nhất phải có 4 chữ số.
Gọi số thứ nhất là abcd (a > 0, a, b, c, d < 10). Số thứ hai, số thứ ba, số thứ tư lần lượt sẽ là : abc ; ab ; a. Theo bài ra ta có phép tính:
abcd + abc + ab + a = 2003.
Theo phân tích cấu tạo số ta có : aaaa + bbb + cc + d = 2003 (*)
Từ phép tính (*) ta có a < 2, nên a = 1. Thay a = 1 vào (*) ta được:
1111 + bbb + cc + d = 2003.
bbb + cc + d = 2003 - 1111
bbb + cc + d = 892 (**)
b > 7 vì nếu b nhỏ hơn hoặc bằng 7 thì bbb + cc + d nhỏ hơn 892 ; b < 9 vì nếu b = 9 thì bbb = 999 > 892. Suy ra b chỉ có thể bằng 8.
Thay b = 8 vào (**) ta được:
888 + cc + d = 892
cc + d = 892 - 888
cc + d = 4
Từ đây suy ra c chỉ có thể bằng 0 và d = 4.
Vậy số thứ nhất là 1804, số thứ hai là 180, số thứ ba là 18 và số thứ tư là 1.
Thử lại: 1804 + 180 + 18 + 1 = 2003 (đúng)
Bài 14: Cho bảng ô vuông gồm 10 dòng và 10 cột. Hai bạn Tín và Nhi tô màu các ô, mỗi ô một màu trong 3 màu: xanh, đỏ, tím. Bạn Tín bảo: "Lần nào tô xong hết các ô cũng có 2 dòng mà trên 2 dòng đó có một màu tô số ô dòng này bằng tô số ô dòng kia". Bạn Nhi bảo: "Tớ phát hiện ra bao giờ cũng có 2 cột được tô như thế".
Nào, bạn hãy cho biết ai đúng, ai sai?
Bài giải: Giả sử số ô tô màu đỏ ở tất cả các dòng đều khác nhau mà mỗi dòng có 10 ô nên số ô được tô màu đỏ ít nhất là:
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 (ô).
Lí luận tương tự với màu xanh, màu tím ta cũng có kết quả như vậy.
Do đó bảng sẽ có ít nhất 45 + 45 + 45 = 135 (ô). Điều này mâu thuẫn với bảng chỉ có 100 ô.
Chứng tỏ ít nhất phải có 2 dòng mà số ô tô bởi cùng một màu là như nhau.
Đối với các cột, ta cũng lập luận tương tự như trên. Do đó cả hai bạn đều nói đúng.
Bài 15: Bạn Toàn nhân một số với 2002 nhưng “đãng trí” quên viết 2 chữ số 0 của số 2002 nên kết quả “bị” giảm đi 3965940 đơn vị. Toàn đã định nhân số nào với 2002?
Bài giải: Vì "đãng trí" nên bạn Toàn đã nhân nhầm số đó với 22.
Thừa số thứ hai bị giảm đi số đơn vị là: 2002 - 22 = 1980 (đơn vị).
Do đó kết quả bị giảm đi 1980 lần thừa số thứ nhất, và bằng 3965940 đơn vị.
Vậy thừa số thứ nhất là: 3965940 : 1980 = 2003.
Bài 16: Người ta cộng 5 số và chia cho 5 thì được 138. Nếu xếp các số theo thứ tự lớn dần thì cộng 3 số đầu tiên và chia cho 3 sẽ được 127, cộng 3 số cuối và chia cho 3 sẽ được 148. Bạn có biết số đứng giữa theo thứ tự trên là số nào không?
Bài giải: 138 là trung bình cộng của 5 số, nên tổng 5 số là: 138 x 5 = 690.
Tổng của ba số đầu tiên là: 127 x 3 = 381.
Tổng của ba số cuối cùng là: 148 x 3 = 444.
Tổng của hai số đầu tiên là: 690 - 444 = 246.
Số ở giữa là số đứng thứ ba, nên số ở giữa là: 381 - 246 = 135.
Bài 17: Cho hai hình vuông ABCD và MNPQ như trong hình vẽ. Biết BD = 12 cm. Hãy tính diện tích phần gạch chéo.
Bài giải: Diện tích tam giác ABD là:
(12 x (12 : 2))/2 = 36 (cm2)
Diện tích hình vuông ABCD là:
36 x 2 = 72 (cm2)
Diện tích hình vuông AEOK là:
72 : 4 = 18 (cm2)
Do đó: OE x OK = 18 (cm2)
r x r = 18 (cm2)
Diện tích hình tròn tâm O là:
18 x 3,14 = 56,92 (cm2)
Diện tích tam giác MON = r x r : 2 = 18 : 2 = 9 (cm2)
Diện tích hình vuông MNPQ là:
9 x 4 = 36 (cm2)
Vậy diện tích phần gạch chéo là:
56,52 - 36 = 20,52 (cm2) cho chương V
Bài 18: Lọ Lem chia một quả dưa (dưa đỏ) thành 9 phần cho 9 cụ già. Nhưng khi các cụ ăn xong, Lọ Lem thấy có 10 miếng vỏ dưa. Lọ Lem chia dưa kiểu gì ấy nhỉ ?
Bài giải: Có nhiều cách bổ dưa, Lo Lem đã bổ dưa như sau:
Cắt ngang quả dưa làm 3 phần, sau đó lại bổ dọc quả dưa làm 3 phần sẽ được 9 miếng dưa (như hình vẽ) chia cho 9 cụ, sau khi ăn xong sẽ có 10 miếng vỏ dưa. Vì riêng miếng số 5 có vỏ ở 2 đầu, nên khi ăn xong sẽ có 2 miếng vỏ.
Bài 19: Bạn hãy điền đủ các số từ 1 đến 10 vào các ô vuông sao cho tổng các số ở nét dọc (1 nét) cũng như ở nét ngang (3 nét) đều là 16.
Bài giải: Tất cả các bạn đều nhận ra một phương án điền số: a = 1; b = 9; c = 5; d = 4; e = 6; g = 10; h = 3; i = 1; k = 8; l = 7. Từ đó sẽ có các phương án khác bằng cách:
1) Đổi các ô b và c.
2) Đổi các ô k và l.
3) Đổi các ô d và h.
4) Đổi đồng thời cả 3 ô a, b, c cho 3 ô i, k, l.
Như vậy các bạn sẽ có 16 cách điền số khác nhau.
Bài 20: Hãy vẽ 4 đoạn thẳng đi qua 9 điểm ở hình bên mà không được nhấc bút hay tô lại.
Bài giải:
Cái khó ở bài toán này là chỉ được vẽ 4 đoạn thẳng và chỉ được vẽ bằng một nét nên cần phải “tạo thêm” hai điểm ở bên ngoài 9 điểm thì mới thực hiện được yêu cầu của đề bài.
Xin nêu ra một cách vẽ với hai “đường đi” khác nhau (bắt đầu từ điểm 1 và kết thúc ở điểm 2 với đường đi theo chiều mũi tên) như sau:
Khi xoay hoặc lật hai hình trên ta sẽ có các cách vẽ khác.
2. Bài tập vận dụng về tính chất cơ bản của phân số
I. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Trong các phân số dưới đây, phân số nào không bằng phân số là:
| A. |
B. |
C. |
D. |
Câu 2: Số thích hợp để điền vào chỗ chấm là:
| A. 9 | B. 10 | C. 11 | D. 12 |
Câu 3: Khi rút gọn phân số về phân số tối giản, ta được phân số:
| A. |
B. |
C. |
D. |
Câu 4: Phân số và phân số
có mẫu số chung nhỏ nhất bằng:
| A. 4 | B. 15 | C. 12 | D. 100 |
Câu 5: Khi rút gọn phân số về phân số tối giản, ta được phân số có mẫu số chia hết cho số:
| A. 2 | B. 3 | C. 5 | D. 7 |
II. Bài tập tự luận
Bài 1: Rút gọn các phân số sau về phân số tối giản:
Giải:
Bài 2: Quy đồng mẫu số các phân số dưới đây:
Giải:
+ và
Có và
Mẫu số chung là 20 vì 20 : 2 = 10; 20 : 4 = 5 và 20 : 5 = 4
Ta có:
+ và
Có và
Mẫu số chung là 90 vì 90 : 5 = 18, 90 : 18 = 5 và 90 : 9 =10
Ta có:
+ và
Mẫu số chung là 125 x 8 = 1000
+ và
Có và
Mẫu số chung là 3 x 8 = 24
3. Vở bài tập toán nâng cao lớp 5 - quyển 2 có đáp án
Bài 1: [Dạng toán thực hiện phép tính phân số] Thực hiện các phép tính sau:
1.
2.
3.
=> Lời giải:
1. =
=
=
= 1
2.
Tử số = 0,18 x 1230 + 0,9 x 4560 x 2 + 3 x 5310 x 0,6
Tử số = 0,18 x 1230 + 0,18 x 4567 + 0,18 x 11100
Tử số = 0,18 x (1230 + 4560 + 5310) = 0,18 x 11100
Mẫu số = 1 + 4 + 7 + 10 + ... + 55 - 514
(Tổng các số cách 3 đơn vị từ 1 tới 55) - 514
Mẫu số = [(đầu + cuối) x số số hạng] / 2 - 514
Mẫu số = - 514 = 523 - 514 = 18
Tử số / Mẫu số = =
= 111
Chú ý: số số hạng = (cuối - đầu) / Khoảng cách + 1 = + 1 = 18 + 1 = 19 số
3. =
=
=
=
= 11
Bài 2: [Giảm bớt cả tử và mẫu của phân số] Cho phân số . Hỏi phải giảm cả tử và mẫu đi bao nhiêu đơn vị để được phân số mới bằng 1/2
=> Lời giải
Gọi số phải giảm cần tìm là a thì tử số mới là 36 - a và mẫu là 47 - a
Theo đề ra: = 1/2 <=> (36 - a) x 2 = (47 - a) x 1
<=> 72 - 2 x a = 47 - a
<=> 72 - 47 = 2 x a - a
<-> a = 25
Thử lại: = 11/22 = 1/2 (thỏa mãn)
Vậy số phải tìm là: 25
=
- 36 = 15 = 21 và 51 - 15 = 36
Bài 3: [Chứng minh] Chứng minh rằng phân số là phân số tối giản.
=> Lời giải
Phân số tối giản là phân số mà tử số và mẫu số không cùng chia hết cho 1 số khác 1. Vậy nếu không là phân số tối giản thì n + 1 và 2n + 3 phải cùng chia hết cho một số khác 1.
Gọi số mà n + 1 và 2n + 3 cùng chia hết là số a thì:
1) n + 1 / a <=> 2 x (n + 1) / a <=> 2n + 2 / a
2) 2n + 3 / a
Vậy (2n + 3) – (2n + 2) / a <=> 1 : a <=> a=1 (Không thỏa mãn)
Vậy là phân số tối giản
Bài 4: [Dạng toán so sánh hai phân số] sắp xếp các phân số theo thứ tự từ bé tới lớn:
1. ,
,
,
2. ,
,
,
,
3. ,
=> Lời giải
* Cách 1: Cách hay dùng nhất - So sánh 2 phân số với 1 phân số thứ ba.
So sánh A và B. Nếu A > C và C > B thì A > B
Ví dụ: So sánh 3/4 và 120/119: Vì 120/119 > 1 và 1> 3/4 nên 120/119 > 3/4
* Cách 2: Tìm quy luật chung của các phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số.
Các phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số và hiệu của tử số và mẫu số của các phân số là như nhau thì phân số nào có tử số càng lớn thì phân số đó càng lớn.
Ví dụ: so sánh 3/4 và 119/120. Áp dụng kiến thức thì có thể thất 119/120 > 3/4
So sán thông thường: Vì =
=
+
> 3/4
Vậy 119/120 > 3/4 (Đúng)
* Cách 3: Tìm quy luật chung của các phân số có tử số lớn hơn mẫu số. Các phân số có tử số lớn hơn mẫu số và hiệu của tử số và mẫu số của các phân số là như nhau thì phân số nào có tử số càng lớn thì phân số đó càng nhỏ.
Ví dụ: so sánh 4/3 và 120/119. Áp dụng kiến thức trên thì 4/3 > 120/119
Thông thường: 4/3 = (3 + 1)/3 = 1 + 1/3; 120/119 - (119 + 1)/119 = 1 + 1/119
Vì 1/3 > 1/119 nên 1 + 1/3 > 1 + 1/119 nên 4/3 > 120/119 (đúng)
Từ đó ta có:
1. 1/3; 111/11; 5/6; 9/7
1/3 = 2/6 < 5/6 => 1/3 < 5/6 (đổi các phân số về cùng mẫu để so dánh - cơ bản)
5/6 < 1< 9/7 => 5/6 < 9/7 (so sánh 2 phân số với 1 số thứ 3)
9/7 < 14/7 = 2 còn 111/11 > 110/11 = 10. Vậy 111/11 > 10 > 9/7 nên 111/11 > 9/7
Kết luận: 1/3; 5/6; 9/7; 111/11
2. 1/2; 2/3; 3/4; 4/5; 99/100
Áp dụng cách 2, phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số và hiệu giữa tử số và mẫu số là một số bằng nhau thì tử số càng lớn thì phân số càng lớn
Kết luận: 1/2; 2/3; 3/4; 4/5; 99/100
3. 2019/19; 2021/21
Áp dụng cách 3, phân số có tử số lớn hơn mẫu số mà hiệu giữa tử số và mẫu số bằng nhau thì phân số có tử số lớn hơn thì nhỏ hơn.
Kết luận: 2021/21; 2019/19
Bài 5: [Dạng toán tìm x] Tìm x
1. =
2. =
+
3. = 70 x 2 + 1
=> Lời giải
1. x/5 = 3/2 <=> x = 3/2 x 15 = 15/2 (bài cơ bản về quy tác chuyển vế)
2. 3/(2x + 1) = 2/7 + 1/3 <=> 3/(2x + 1) = (2 x 3 + 1)/(7 x 3) quy đồng <=> 3/(2x + 1) = 1/7
<=> 3 x 7 = (2x + 1) x 1 (chuyển vế)
<=> 21 = 2x + 1 (thực hiện phép tính có thể)
<=> 2x = 21 - 1 = 20 (chuyển vế)
<=> x = 20 / 2 = 10
3. (x + 140)/x = 70 x 2 + 1
<=> (x + 140)/x = 141 (thực hiện các phép tính bên phải)
<=> x + 140 = 141x (chuyển vế)
<=> 140 = 141x - x
<=> 140 = 140x
<=> x = 1
Bài 6: [Toán Tỉ số phần trăm] Bà Tâm mang trứng ra chợ bán. Ngày đầu bà bán được 1/2 số quả trứng. Tới ngày thứ hai, bà bán được thêm 1/2 số trứng còn lại. Ngày thứ ba, bà bán thêm được 15 % số trứng so với ban đầu thì bà còn đúng 10 quả trứng. Tính số trứng bà Tâm có từ ngày đầu đem bán.
=> Lời giải:
Ngày đầu bà Tâm bán được 1/2 số trứng, vậy bà Tâm đã bán được 50 % số trứng và còn lại là 50 % số trứng.
Ngày 2 bà bán được 50 % số trứng còn lại, tức là bà đã bán được thêm: 50 % x 50 % = 25 % (số trứng so với ban đầu)
Vậy tổng số trứng bà đã bán tới ngày 2 là: 50 % + 25 % = 75 %
Ngày thứ 3 bà bán được 15 % số trứng so với ban đầu
Vậy sau ngày 3 bà đã bán được:75 % + 15 % = 90 % số trứng
Và phần trăm số trứng còn lại là: 100 % – 90 % = 10 %
Mà số trứng còn lại là 10 quả sau 3 ngày bán, nên số trứng ban đầu là: 10 : 10% = 10 : 10/100 10 x 100/10 = 100 (Quả trứng)
4. 300 bài toán nâng cao lớp 5 có lời giải
Câu 1 (0,5 điểm): Giá trị của chữ số 4 trong số thập phân 23,546 là:
A. 4 C. 4/10
B. 40 D. 4/100
Câu 2 (0,5 điểm): 1 phút 30 giây = ….....phút.Số thích hợp điền vào chỗ chấm là:
A. 1,3 B. 1,5
C. 130 D. 90
Câu 3 (0,5 điểm): Hình tròn H có bán kính dài gấp 3 lần bán kính hình tròn K. Diện tích hình tròn H so với diện tích hình tròn K gấp số lần là:
A. 3 lần B. 6 lần
C. 9 lần D. 27 lần
Câu 4 (0,5 điểm): Biểu thức 16 – 12 : 4 3 + 5 có giá trị là:
A. 12 B. 8
C. 20 D. 10
Câu 5 (1 điểm): Một bể nước hình hộp chữ nhật có chiều dài 3m , chiều rộng 2m , chiều cao 1 . Bể chứa 70 % nước . Hỏi trong bể có bao nhiêu lít nước ?
A. 4,2 lít B. 42 lít
C. 420 lít D. 4200 lít
Câu 6: Tìm X:
a. 473,4 x X = 315,6 x 12
b. 136,5 - X = 5,4 : 1,2
c. X x 34,56 - X x 25,56 + X = 0,1
Câu 7): Lúc 7 giờ 50 phút, bác Xuân đi bộ từ A với vận tốc 4,5 km/ giờ và đến B vào lúc 9 giờ 10 phút . Bác Thu đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 12 km/ giờ . Hỏi bác Thu muốn đến trước bác Xuân 15 phút thì phải khởi hành lúc mấy giờ ?
Câu 8: Một bể có ba vòi nước: Hai vòi chảy vào và một vòi chảy ra. Biết rằng vòi thứ nhất chảy 6 giờ thì đầy bể, vòi thứ hai chảy 4 giờ thì đầy bể, vòi thứ ba tháo ra 8giờ thì bể cạn. Bể đang cạn, nếu mở cả 3 vòi cùng một lúc thì sau bao lâu đầy bể?
Câu 9: Tính nhanh:
5.
Hãy khoanh tròn vào chữ cái đặt trước câu trả lời đúng :
Câu 1: (0,5 điểm) Kết quả của phép tính 
là :
Giải: Câu D
Câu 2: (0,5 điểm) Bốn và ba phần năm viết là
Giải: C
Câu 3: (1điểm) Trong cuộc thi bắn súng, số điểm của một sạ thủ là 134, 143, 144. ở lần bắn thứ tư sạ thủ đó cần đạt bao nhiêu điểm để qua 4 lần bắn điểm trung bình đạt được là 145.
A. 580 điểm B. 303 điểm
C. 293 điểm D. 159 điểm
Câu 4: ( 1điểm) Tìm một số có ba chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta được một số lớn gấp 26 lần số phải tìm.
A. 306 B. 360
C. 630 D. 603
Câu 5: (0,5 điểm) Tìm a: a x 11 + a x 9 = 400
A. a = 20 B. a = 200
C. a = 10 D. a = 100
Câu 6: (0,5 điểm) Tính giá trị biểu thức 
:
Giải: B
Câu 1: (2 điểm) Tính :
a) 
b) 
c) 
d) 
Giải:
a) 
b) 
c) 
d) 
Câu 2: (2 điểm) Hiện nay trung bình cộng tuổi của mẹ và con là 24 tuổi . Biết 5 năm trước mẹ hơn con 26 tuổi. Hỏi hiện nay mẹ bao nhiêu tuổi, con bao nhiêu tuổi?
Giải:
Tổng số tuổi mẹ và tuổi con hiện nay là: 24 x 2 = 48 (tuổi). ( 0,5 điểm)
Vì mỗi năm mỗi người tăng 1 tuổi nên hiện nay mẹ vẫn hơn con 26tuổi. ( 0,25 điểm)
Tuổi mẹ là: (48 + 26) : 2 = 37 (tuổi). ( 0,5 điểm)
Tuổi con là: 37 – 26 = 11 (tuổi). ( 0,5 điểm)
Đáp số: mẹ 37 tuổi; con 11 tuổi ( 0,25 điểm)
Câu 3: (2 điểm) Tổng hai số tự nhiên bằng 535. Tìm hai số đó, biết giữa chúng có 12 số tự nhiên khác
Giải:
Giữa hai số tự nhiên có 12 số tự nhiên, nên giữa chúng có 13 khoảng cách. Vậy hiệu hai số là 13. ( 0,5 điểm)
Số lớn là: (535 + 13) : 2 = 274 ( 0,5 điểm)
Số bé là: 275 – 13 = 261. ( 0,5 điểm)
Đáp số: Số lớn 274; số bé 261 ( 0,5 điểm)
👉Trên đây là bài tập Toán Nâng Cao Lớp 5 giúp học sinh rèn luyện tư duy logic, phát triển khả năng giải quyết các bài toán phức tạp. Hy vọng những bài tập trên sẽ giúp các em tiến xa hơn trong hành trình chinh phục môn Toán.
