Bài tập Toán nâng cao lớp 7 có đáp án, tổng hợp các dạng toán nâng cao gồm cả Đại số và Hình học. Các dạng Toán 7 nâng cao được trình bày rất bài bản.
Dạng 1
2. Dạng 2: Tìm tổng của dãy số mà các số hạng không cách đều
Bài 1: Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +...+n. (n+1)
Hướng dẫn giải
Cách giải 1:
Ta thấy rằng mỗi số hạng trong dãu số trên đều là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, khi đó:
Gọi a1 = 1.2 → 3a1 = 1.2.3 → 3a1 = 1.2.3 - 0.1.2
Tương tự:
a2 = 2.3 → 3a2 = 2.3.3 → 3a2 = 2.3.4 - 1.2.3
a3 = 3.4 → 3a3 = 3.3.4 → 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4
...
a(n - 1) = (n - 1).n → 3a(n - 1) = 3(n - 1)n → 3a(n - 1) = (n - 1).n.(n + 1) - (n - 2).(n - 1).n
an = n.(n - 1) → 3an = 3n(n + 1) → 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được:
3(a1 + a2 + a3 +...+ an) = n(n + 1)(n + 2)
3. Dạng 3: Toán hình
Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
a. Tam giác ABE bằng tam giác ADC
b. Góc BMC bằng 120°
Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. Ở miền ngoài của tam giác ABC vẽ các tam giác vuông cân ABE và tam giác ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH).
a. Chứng minh rằng: EM + HC = NH
b. Chứng minh rằng: EN // FM
Bài 3: Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P,Q sao cho chhu vi của DAPQ = 2. Chứng minh rằng: góc PCQ = 45°
Bài 4: Cho tam giác vuông ABC có cạnh AB = AC, tia phân giác của các góc B và C cắt AC và AB lần lượt tại E và D.
a. Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE
b. Gọi I là giao điểm của BE và CD. AI cắt BC tại M, chứng minh rằng MAC là tam giác vuông cân.
c. Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường này cắt BC lần lượt ở K và H. Chứng minh rằng KH = KC
Bài 5: Cho đoạn thẳng MN = 4 cm, điểm O nằm giữa hai điểm M và N. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ MN vẽ tam giác cân đỉnh ) là OMA và OMB sao cho góc ở đỉnh O bằng 45°. Tìm vị trí của O để AB min. Tính độ dài nhỏ nhất đó.
Bài 6: Cho tam giác ABC. qua A vẽ đường thăng xy // BC. Tiwf điểm M trên cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với AB, Ac chúng cắt xy theo thứ tự tại D và E. Chứng minh rằng:
a. Tam giác ABC = tam giác MDE
b. Ba đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.
Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng kinh rằng:
a. DM = EN
b. Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm của I của đoạn MN
c. Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.
Bài 8: Cho tam giác ABC có góc B và góc C là góc nhọn. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC.
a. Chứng minh rằng: BE = CD
b. Gọi M là trung điểm của BE, N là trung điểm của CB. Chứng minh rằng M, A, N thẳng hàng.
c. Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C trên tia Ax. chứng minh rằng BH + CK nhỏ hơn hoặc bằng BC.
Bài 9: Cho tam giác ABC, dựng tam giác đều MAB, NBC, PAC thuộc miền ngoài của tam giác ABC. Chứng minh rằng MC = NA = PB và góc tạo bởi hai đường thẳng ấy bằng 60°, ba đường thẳng MC, NA, PB đồng quy.
Bài 10: Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AH, BK. CL cắt nhau tại I. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của IA, IB, IC. Chứng minh rằng PD, QE, RF đồng quy. Gọi J là điểm đồng quy, chứng minh I là trung điểm của mỗi đường.
Bài 11: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của góc ABE cắt AD tại K. chứng minh AK + CE = BE.
4. Một số dạng bài tập nâng cao khác
Bài 1: Cho a là số gồm 2n chữ số 1, b là số gồm n +1 chữ số 1, c là số gồm n chữ số 6. Chứng minh rằng a + b + c + 8 là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a, tồn tại số tự nhiên b sao cho ab + 4 là số chính phương.
bài 3: Cho hai số tự nhiên a và b (với điều kiện a < b). Tìm tổng các phân số tối giản có mẫu bằng 7, mỗi phân số lớn hơn a nhưng nhỏ hơn b.
Bài 4: Tìm n biết rằng n3 - n2 + 2n + 7 chia hết cho n2 + 1.
Bài 5: Tìm số tự nhiên n để 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho 5
